Hej David!
Av informationen på antagning.se/sv/anmal-dig-sa-har/viktiga-datum framgår att sista dag för komplettering av högskole-universitetsansökan till utbildningar med start Höstterminen 2023 blir den 21 juni 2023. 
Att göra en prövning är en process som brukar ta minst några veckor. Prövningen består av 2 eller 3 delar. Om laborationer ingår, brukar det vara 3 delar, annars - 2 delar. Från första delen (skriftligt prov) till andra delen (muntligt prov) brukar ett par veckor ligga, kan vara 10 dagar eller 3 veckor, beror på hur de som anordningar prövningar lägger upp det. Sedan går det ett par veckor efter sista del-prov innan man får veta vad betyget blir och sedan går det ett par veckor tills man får ut betyget "i handen". Man behöver göra anmälan minst 3 veckor innan första prövningstillfälle (kan vara olika - kan vara så att man behöver göra ansökan flera månader innan första prövningstillfälle). Att du skulle kunna boka dig på en prövning där första delen äger rum 9 juni och sedan hinna få ut betyget senast den 21 juni kan inte jag förställa mig hur det skulle gå. Det är endast 12 dagar "där emellan": från din sista gymnasiedag till sista dag för komplettering med betyg. Jag tror tyvärr inte att du kan hinna. Jag har i alla fall aldrig hört talas om att en elev har gjort så och hunnit... Det som vanligtvis gäller är att man gör prövningar (om man hittar var man kan anmäla sig) i god tid innan sista dag för komplettering. Det kan tyvärr betyda att din anmälan till högskola-universitet blir försenad i ett helt år, vilket är tråkigt men jag vet inte hur det skulle kunna avhjälpas. 
För övrigt:
prövningar på de flesta ställen erbjuds under perioden september - maj. Att hitta var man kan göra prövning under sommaren är mycket svårt. Det är svårt att hitta var man kan göra prövning, över huvudet taget. Det är många som vill göra prövningar och tillfällen är få och blir uppbokade (oftast) mycket snabbt. 
Om du vill göra prövning för att höja ditt betyg i en kurs i vilken du redan har godkänt betyg, då kan du fundera på att "i stället" göra högskoleprovet. Har du godkända betyg, är du ju Behörig. 
Om du vill göra prövning i en kurs i vilken du saknar godkänt betyg, kan du söka till komvux och "i stället" för prövning, läsa kursen.
Tips! Om du direkt efter gymnasiet blir BEHÖRIG men ser i antagningsstatistik att ditt meritvärde blir (nog) får lågt, gör anmälan till utbildningen i alla fall, är mitt råd. Alla behöriga sökande har en (viss) chans att komma in. Det kan t.ex hända att antal utbildningsplatser ökar och då brukar antagningsgränsen gå ner.