Hej Jakob,
jättetråkigt att läsa om att situationen på din sons skola ser ut som den gör. Tyvärr råder det lärarbrist och rektorn kan inte alltid trolla fram ersättningslärare vid ordinarie lärarens sjukdom. Det är ju inte "vem som helst" som kan undervisa i gymnasiala kurser; man måste ju ha tillräckliga kunskaper i det aktuella ämnet för att kunna göra det.
Du får gärna kontakta skolverket med din fråga. Skolverket kan ge svar som blir juridiskt korrekt; de har anställda jurister.
Allmänt gäller följande: huvudmannen är ansvarig. På en enskild skola är den som ytterst ansvarig - en rektor. Men i praktiken så kan man ju inte varken sig förbjuda personal att vara sjuka eller trolla fram personer som både kan och vill undervisa (med kort varsel och på en kort anställning, ej fastanställning, vilket är inte så attraktivt för de flesta arbetssökande).
De åtgärder som - i princip - finns är att eleven kan beviljas förlängd studiegång (alltså kan få läsa på gymnasiet under längre tid än 3 år - för att försöka uppnå kraven för examensbevis) och att eleven kan få göra prövningar för att få betyg. Undersöka de möjligheter om du/ni tycker att det är någonting som din son önskar att få tillgång till.
Om din son går ut med studiebevis i stället för examensbevis, då kan han komplettera mot examensbevis på komvux. På folkhögskolans allmänna kurser kan man läsa mot omdöme om grundläggande behörighet (det kan man få på, som kortast, ett läsår).
Men det finns många fördelar i att läsa på gymnasiet jämfört med komvux eller folkhögskola. När man slutar vara gymnasieelev upphör många rättigheter - bl.a rätten att läsa på heltid, rätten till åkkort/busskort, rätten till gratis kurslitteratur och mat på skolan (gratis lunch). Därför tycker jag det är fördelaktigt att försöka hålla sig i gymnasieskolan, om möjligt (i stället för att gå över till komvux eller en folkhögskola).

Satsa på självstudier! 
Det är många ggr fördelaktigt att försöka lära sig att lära sig själv, på egen hand och utarbeta/vässa sin personliga Studieteknik. Vid övergång från gymnasiet till högskola blir det tyvärr så att många "lider" av brist på förmågorna som att ta eget ansvar, läsa på och hitta information på egen hand under lång tid för att först i slutet av terminen bli tillfrågad vad du egentligen kan i kursen. En situation när en studerande på högskolenivå upptäcker i slutet av terminen att svåra tentor äger rum och hen inte har läst på under terminens gång för att ingen kontrollerade vad hen gör (ingen tog närvaro på föreläsningar och ingen frågade om hen läst kurslitteratur) men sedan förväntas man kunna saker och klara tentorna, vilket kan tyvärr komma som en obehaglig överraskning. 
En ungdom vinner mycket på att så tidigt som möjligt lära sig ta ansvar för egen inlärling. Vad man måste kunna inom en viss gymnasiekurs brukar inte vara svårt att lista ut och eleverna har tillgång till läroböcker och så finns det massvis med information att hitta på "nätet". I ämnet matematik brukar vi rekommendera www.matteboken.se (en mycket bra gratis sajt) där även finns hjälp att lära sig andra naturvetenskapliga ämnen.
Vad gäller få betygen, så om man har kunskaperna så brukar man kunna visa att man har de kunskaperna vilket man t.ex kan göra med hjälp av en stor skivtest och en efterföljande muntligt prov (som man gör på prövningar). 
Jag är medveten om att det är troligtvis ett helt annat svar du förväntade dig; du vill ju få reda på elevens rättigheter i den situationen du beskriver. Vi har ingen jurist här på FRåGA SYV. Du ställer en skolJuridisk fråga. Därför måste vi hänvisa dig till jurister på skolverket och/eller jurister hos skolans huvudman. Du kan också alltid vända dig till stadsjurister i kommunen där din son är folkbokförd, även om han kanske läser på gymnasiet i en annan kommun. 
Jag beklagar att inte kunna ge dig ett annat svar än det som jag ger nu.
Du får jättegärna återkomma och berätta hur det går för din son. Önskar honom lycka till i hans studier!